*
松井隼さんの思索数学
■ 数学
『<解説> 広告媒体の到達率推定モデル』

『<解説> 広告媒体の到達率推定モデル』
(252k)

『メソリンガムモデルとその周辺--松井メモ』
*(1) メソリンガムモデル式及びその変形 1. 2.

『メソリンガムモデルとその周辺』
(264k)

■ 哲学
■ 社会システム設計
■ 学生時代の資料

メソリンガムモデルとその周辺---松井メモ(1)

このテキストは、松井さんの手書きのメモをもとに、(株)ビデオリサーチ
木戸茂さんが、デジタル化、数式の記号・添え文字の統一などをしてくだ
さったものです。                         

メソリンガムモデル式及びその変形

1.視聴回数分布と重複視聴率の関係

・N時点からとり出した任意の k時点の重複視聴率の合計を Qk とする。
・丁度 i回視聴した人の割合を f(i)とする。

公式(1) 

〈証明〉
i≧kの時 f(i)に数えられている視聴者は、i個の中からk個とった任意の組合わせの視聴者であるから、Qk の中にiQk回、数えられている。 i<kである時は f(i)に数えられている視聴者は存在しない。従ってi=k, k+1, …,Nの全てについて、iQk f(i)を合計すれば過不足なくQk に一致する。
                    Q.E.D.

2.到達率算出の一般公式

 とおく。R(i)は i回以上視聴の到達率である。

公式(2) 

〈証明〉


公式(3) 

〈証明〉
公式(1)に公式(2)を代入すると

                    Q.E.D.

Q(k)からf(k)を求める方法

 としておく。

θについての次のN次多項式をつくる。


和の順序を変更すると


故に 

両辺をθについてk回微分すれば

ここでθ=-1を代入すれば



(付録) 
が全てのkについて成立するw(p)が存在する場合



〈証明〉



                    Q.E.D.

 Q(k)からR(k)を求める方法
  (1)
θについての多項式g(θ)を次式で定義する。
  (2)
(2)に(1)を代入して変形する。


和の順序を変更すると
   

故に


両辺をQについて(k-1)回微分する


ここでθ=-1を代入すれば
(4)'  

公式(5) N時点から取った任意のk時点のあらゆる組合わせについての重複視聴率の平均をP(k)とする時

〈証明〉
    であるから  
これを公式(4)へ代入すれば上式が得られる。

    
松井隼記念館運営委員会 fieldlabo@as.email.ne.jp