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松井隼さんの思索数学
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『<解説> 広告媒体の到達率推定モデル』

『<解説> 広告媒体の到達率推定モデル』
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『メソリンガムモデルとその周辺--松井メモ』
*(4) メソリンガムモデル及び負の二項分布モデルにおけるパラメーターの条件及 び平均視聴率、平均重複視聴率の間の制約 1. 2. 3

『メソリンガムモデルとその周辺』
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メソリンガムモデルとその周辺---松井メモ(4)

メソリンガムモデル及び負の二項分布モデルにおけるパラメーターの条件及 び平均視聴率、平均重複視聴率の間の制約

1.メソリンガムモデルの場合

 モデルのベースとなっているβ分布のパラメーターl, mについてl>0, m>0という条件が課されている。(これはβ関数B(l ,m)の収束条件に他ならない。)フリークエンシーディストリビューションf(k)を求める時の積分はlがl+kになり、mがになるだけであるから収束の条件は常に満たされている。
 以上によってパラメーターl, mに課せられる条件は
       (1)

    (2)

の二式で表わされる。これに加えて、は平均視聴率であるから常に            (3)

をみたしていることを考慮すれば、(1),(2)より
          (4)

が導かれることは明らかである。

2.負の二項分布モデルの場合

 モデルのベースとなっているΓ分布のパラメーターα,βについて  α>0, β>0という条件が課されている。
 フリークエンシーディストリビューションを求める時の積分はαがα +kになり、βがβ+1に変わるだけであるから収束の条件は満たされて いる。
 従ってパラメーターに課される条件は
       (5)

       (6)

の二式である。またQ1は常に正であるからQ1及びQ2の間に
         (7)
という関係が与えられれば、必要十分なことは明らか。

これをN, , に書き直せば、
     (8)

(8)式が負の二項分布モデルが成立するための必要条件であるが、重複視聴率の実体的な意味から考えて
             (9)

という条件が課させることは当然であるから
       (10)

によってに制約を加えておくことが妥当であろう。

3.が条件式の下限に近づく時の極限分布

 i) メソリンガムモデルの場合
 視聴確率Pの分布β(p)の平均及び分散は、


 ここでを一定としておいてとすればβ(p)は一点に集中す る。(分散が0になる。)
 従って、視聴確率の視聴者のみが存在することになり、視聴回数の 分布は当然二項分布に収束する。
(これは、f(k)の極限から直接確かめることも可能)

  ii) 負の二項分布モデルの場合
 延視聴確率の意味でのGRPの分布γ(g)の平均と分散は、

 従ってn, を固定してとする場合、この分布は分散が0に収束し、一点n に集中してしまう。したがって視聴回数の分布は当然ポアッソン分布に収束する。(これもf(k)の極限から直接確かめることができる。)

     
松井隼記念館運営委員会 fieldlabo@as.email.ne.jp